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Suma de la serie/ (n+1)*x^n/n*3^n

Suma de la serie (n+1)*x^n/n*3^n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo               
____               
\   `              
 \             n   
  \   (n + 1)*x   n
  /   ----------*3 
 /        n        
/___,              
n = 0
$$\sum_{n=0}^{\infty} 3^{n} \frac{x^{n} \left(n + 1\right)}{n}$$ 
Sum((((n + 1)*x^n)/n)*3^n, (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$3^{n} \frac{x^{n} \left(n + 1\right)}{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{3^{n} \left(n + 1\right)}{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} 3^{- n - 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n \left(n + 2\right)}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = \frac{1}{3}$$
$$R^{1} = 0.333333333333333$$
$$R = 0.333333333333333$$
Respuesta [src] 
      //     1                    \
      ||  -------    for 3*|x| < 1|
      ||  1 - 3*x                 |
      ||                          |
      ||  oo                      |
zoo + |< ___                      |
      || \  `                     |
      ||  \    n  n               |
      ||  /   3 *x     otherwise  |
      || /__,                     |
      \\n = 0                     /
$$\begin{cases} \frac{1}{1 - 3 x} & \text{for}\: 3 \left|{x}\right| < 1 \\\sum_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{n} & \text{otherwise} \end{cases} + \tilde{\infty}$$ 
±oo + Piecewise((1/(1 - 3*x), 3*|x| < 1), (Sum(3^n*x^n, (n, 0, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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