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Suma de la serie/ a/(b^n)

Suma de la serie a/(b^n)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo    
____    
\   `   
 \    a 
  \   --
  /    n
 /    b 
/___,   
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{b^{n}}$$ 
Sum(a/b^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{a}{b^{n}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = a$$
y
$$x_{0} = - b$$
,
$$d = -1$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(- b + \lim_{n \to \infty} 1\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(1 - b\right)$$
$$R = 0$$
Respuesta [src] 
  //    1           1     \
  ||---------  for --- < 1|
  ||  /    1\      |b|    |
  ||b*|1 - -|             |
  ||  \    b/             |
  ||                      |
a*|<  oo                  |
  || ___                  |
  || \  `                 |
  ||  \    -n             |
  ||  /   b     otherwise |
  || /__,                 |
  \\n = 1                 /
$$a \left(\begin{cases} \frac{1}{b \left(1 - \frac{1}{b}\right)} & \text{for}\: \frac{1}{\left|{b}\right|} < 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} b^{- n} & \text{otherwise} \end{cases}\right)$$ 
a*Piecewise((1/(b*(1 - 1/b)), 1/|b| < 1), (Sum(b^(-n), (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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