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Suma de la serie/ sin(x/2^n)*cos(3*x/2^n)

Suma de la serie sin(x/2^n)*cos(3*x/2^n)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                  
____                  
\   `                 
 \       /x \    /3*x\
  \   sin|--|*cos|---|
  /      | n|    |  n|
 /       \2 /    \ 2 /
/___,                 
n = 1
∑n=1∞sin⁡(x2n)cos⁡(3x2n)\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(\frac{x}{2^{n}} \right)} \cos{\left(\frac{3 x}{2^{n}} \right)} 
Sum(sin(x/2^n)*cos((3*x)/2^n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sin⁡(x2n)cos⁡(3x2n)\sin{\left(\frac{x}{2^{n}} \right)} \cos{\left(\frac{3 x}{2^{n}} \right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=sin⁡(2−nx)cos⁡(3⋅2−nx)a_{n} = \sin{\left(2^{- n} x \right)} \cos{\left(3 \cdot 2^{- n} x \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞∣sin⁡(2−nx)cos⁡(3⋅2−nx)sin⁡(2−n−1x)cos⁡(3⋅2−n−1x)∣1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sin{\left(2^{- n} x \right)} \cos{\left(3 \cdot 2^{- n} x \right)}}{\sin{\left(2^{- n - 1} x \right)} \cos{\left(3 \cdot 2^{- n - 1} x \right)}}}\right|
Tomamos como el límite
hallamos
R0=2R^{0} = 2
Respuesta [src] 
  oo                         
 ___                         
 \  `                        
  \      /     -n\    /   -n\
  /   cos\3*x*2  /*sin\x*2  /
 /__,                        
n = 1
∑n=1∞sin⁡(2−nx)cos⁡(3⋅2−nx)\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(2^{- n} x \right)} \cos{\left(3 \cdot 2^{- n} x \right)} 
Sum(cos(3*x*2^(-n))*sin(x*2^(-n)), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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