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Suma de la serie/ (x-3)^n/(2^n+1)

Suma de la serie (x-3)^n/(2^n+1)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo          
____          
\   `         
 \           n
  \   (x - 3) 
   )  --------
  /     n     
 /     2  + 1 
/___,         
n = 0
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(x - 3\right)^{n}}{2^{n} + 1}$$ 
Sum((x - 3)^n/(2^n + 1), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{n}}{2^{n} + 1}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{1}{2^{n} + 1}$$
y
$$x_{0} = 3$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = 3 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{n + 1} + 1}{2^{n} + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = 5$$
$$R = 5$$

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