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Suma de la serie n^2×sin(pi/2^n)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo            
____            
\   `           
 \     2    /pi\
  \   n *sin|--|
  /         | n|
 /          \2 /
/___,           
n = 1           
$$\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \sin{\left(\frac{\pi}{2^{n}} \right)}$$
Sum(n^2*sin(pi/2^n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$n^{2} \sin{\left(\frac{\pi}{2^{n}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = n^{2} \sin{\left(2^{- n} \pi \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left|{\frac{\sin{\left(2^{- n} \pi \right)}}{\sin{\left(2^{- n - 1} \pi \right)}}}\right|}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 2$$
Respuesta [src]
  oo                
 ___                
 \  `               
  \    2    /    -n\
  /   n *sin\pi*2  /
 /__,               
n = 1               
$$\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \sin{\left(2^{- n} \pi \right)}$$
Sum(n^2*sin(pi*2^(-n)), (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src]
17.8505112376856649926054602803
17.8505112376856649926054602803

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie