Sr Examen

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Suma de la serie (x-1)^n/n^2



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo          
____          
\   `         
 \           n
  \   (x - 1) 
   )  --------
  /       2   
 /       n    
/___,         
n = 1         
n=1(x1)nn2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x - 1\right)^{n}}{n^{2}}
Sum((x - 1)^n/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
(x1)nn2\frac{\left(x - 1\right)^{n}}{n^{2}}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=1n2a_{n} = \frac{1}{n^{2}}
y
x0=1x_{0} = 1
,
d=1d = 1
,
c=1c = 1
entonces
R=1+limn((n+1)2n2)R = 1 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R1=2R^{1} = 2
R=2R = 2
Respuesta [src]
/polylog(2, -1 + x)  for |-1 + x| <= 1
|                                     
|   oo                                
| ____                                
| \   `                               
|  \            n                     
<   \   (-1 + x)                      
|    )  ---------        otherwise    
|   /        2                        
|  /        n                         
| /___,                               
| n = 1                               
\                                     
{Li2(x1)forx11n=1(x1)nn2otherwise\begin{cases} \operatorname{Li}_{2}\left(x - 1\right) & \text{for}\: \left|{x - 1}\right| \leq 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x - 1\right)^{n}}{n^{2}} & \text{otherwise} \end{cases}
Piecewise((polylog(2, -1 + x), |-1 + x| <= 1), (Sum((-1 + x)^n/n^2, (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie