Sr Examen

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Suma de la serie ((x-1)^n)/(n^2*2^n)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo          
____          
\   `         
 \           n
  \   (x - 1) 
   )  --------
  /     2  n  
 /     n *2   
/___,         
n = 1         
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x - 1\right)^{n}}{2^{n} n^{2}}$$
Sum((x - 1)^n/((n^2*2^n)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(x - 1\right)^{n}}{2^{n} n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{2^{- n}}{n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 1$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = 1 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{- n} 2^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = 3$$
$$R = 3$$
Respuesta [src]
/       /     1   x\      |  1   x|     
|polylog|2, - - + -|  for |- - + -| <= 1
|       \     2   2/      |  2   2|     
|                                       
|  oo                                   
|____                                   
|\   `                                  
< \     -n         n                    
|  \   2  *(-1 + x)                     
|   )  -------------      otherwise     
|  /          2                         
| /          n                          
|/___,                                  
|n = 1                                  
\                                       
$$\begin{cases} \operatorname{Li}_{2}\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right) & \text{for}\: \left|{\frac{x}{2} - \frac{1}{2}}\right| \leq 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{- n} \left(x - 1\right)^{n}}{n^{2}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Piecewise((polylog(2, -1/2 + x/2), |-1/2 + x/2| <= 1), (Sum(2^(-n)*(-1 + x)^n/n^2, (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie