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(2ncos(2n)-sin(2n))/n^2

Suma de la serie (2ncos(2n)-sin(2n))/n^2



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                         
____                         
\   `                        
 \    2*n*cos(2*n) - sin(2*n)
  \   -----------------------
  /               2          
 /               n           
/___,                        
n = 1                        
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n \cos{\left(2 n \right)} - \sin{\left(2 n \right)}}{n^{2}}$$
Sum(((2*n)*cos(2*n) - sin(2*n))/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{2 n \cos{\left(2 n \right)} - \sin{\left(2 n \right)}}{n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{2 n \cos{\left(2 n \right)} - \sin{\left(2 n \right)}}{n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \left|{\frac{2 n \cos{\left(2 n \right)} - \sin{\left(2 n \right)}}{2 \left(n + 1\right) \cos{\left(2 n + 2 \right)} - \sin{\left(2 n + 2 \right)}}}\right|}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \left|{\frac{2 n \cos{\left(2 n \right)} - \sin{\left(2 n \right)}}{2 \left(n + 1\right) \cos{\left(2 n + 2 \right)} - \sin{\left(2 n + 2 \right)}}}\right|}{n^{2}}\right)$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                          
____                          
\   `                         
 \    -sin(2*n) + 2*n*cos(2*n)
  \   ------------------------
  /               2           
 /               n            
/___,                         
n = 1                         
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n \cos{\left(2 n \right)} - \sin{\left(2 n \right)}}{n^{2}}$$
Sum((-sin(2*n) + 2*n*cos(2*n))/n^2, (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie (2ncos(2n)-sin(2n))/n^2

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie