Suma de la serie 1/3^n-1

Se da una serie:
$$-1 + \left(\frac{1}{3}\right)^{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = -1 + \left(\frac{1}{3}\right)^{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{1 - 2 \cdot 3^{- n} + 3^{- 2 n}} \left|{\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^{n + 1} - 1}}\right|\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$