Se da una serie:
$$\sqrt{n} \frac{5^{n} \left(x - 3\right)^{n}}{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{5^{n}}{\sqrt{n}}$$
y
$$x_{0} = 3$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = 3 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{5^{n} 5^{- n - 1} \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n}}\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{1} = \frac{16}{5}$$
$$R^{1} = 3.2$$
$$R = 3.2$$