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Suma de la serie/ ((3n-1)(x-2)^2n)/((n^2)*9^n)

Suma de la serie ((3n-1)(x-2)^2n)/((n^2)*9^n)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                      
____                      
\   `                     
 \                     2  
  \   (3*n - 1)*(x - 2) *n
   )  --------------------
  /           2  n        
 /           n *9         
/___,                     
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \left(3 n - 1\right) \left(x - 2\right)^{2}}{9^{n} n^{2}}$$ 
Sum((((3*n - 1)*(x - 2)^2)*n)/((n^2*9^n)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{n \left(3 n - 1\right) \left(x - 2\right)^{2}}{9^{n} n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\left(3 n - 1\right) \left(x - 2\right)^{2}}{n}$$
y
$$x_{0} = -9$$
,
$$d = -1$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(-9 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \left|{3 n - 1}\right|}{n \left(3 n + 2\right)}\right)\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty}$$
$$R = 0$$
Respuesta [src] 
                          2                             
3                3*x   3*x     2                        
- + 4*log(8/9) - --- + ---- + x *log(8/9) - 4*x*log(8/9)
2                 2     8
$$x^{2} \log{\left(\frac{8}{9} \right)} + \frac{3 x^{2}}{8} - \frac{3 x}{2} - 4 x \log{\left(\frac{8}{9} \right)} + 4 \log{\left(\frac{8}{9} \right)} + \frac{3}{2}$$ 
3/2 + 4*log(8/9) - 3*x/2 + 3*x^2/8 + x^2*log(8/9) - 4*x*log(8/9)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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