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Suma de la serie n*x^n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo      
 ___      
 \  `     
  \      n
  /   n*x 
 /__,     
n = 1     
$$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}$$
Sum(n*x^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$n x^{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = n$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = 1$$
$$R = 1$$
Respuesta [src]
/    x                  
| --------   for |x| < 1
|        2              
| (1 - x)               
|                       
|  oo                   
< ___                   
| \  `                  
|  \      n             
|  /   n*x    otherwise 
| /__,                  
|n = 1                  
\                       
$$\begin{cases} \frac{x}{\left(1 - x\right)^{2}} & \text{for}\: \left|{x}\right| < 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Piecewise((x/(1 - x)^2, |x| < 1), (Sum(n*x^n, (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie