Se da una serie:
$$\frac{\sin{\left(n \right)}}{\left(\frac{5}{2}\right)^{n} \left(2 n + 1\right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\sin{\left(n \right)}}{2 n + 1}$$
y
$$x_{0} = - \frac{5}{2}$$
,
$$d = -1$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(- \frac{5}{2} + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(2 n + 3\right) \left|{\frac{\sin{\left(n \right)}}{\sin{\left(n + 1 \right)}}}\right|}{2 n + 1}\right)\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty}$$
$$R = 0$$