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Suma de la serie/ ((2*x+3)^n)/2^(n+1)

Suma de la serie ((2*x+3)^n)/2^(n+1)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo            
____            
\   `           
 \             n
  \   (2*x + 3) 
   )  ----------
  /      n + 1  
 /      2       
/___,           
n = 2
$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(2 x + 3\right)^{n}}{2^{n + 1}}$$ 
Sum((2*x + 3)^n/2^(n + 1), (n, 2, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(2 x + 3\right)^{n}}{2^{n + 1}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = 2^{- n - 1}$$
y
$$x_{0} = -3$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 2$$
entonces
$$R = \frac{-3 + \lim_{n \to \infty}\left(2^{- n - 1} \cdot 2^{n + 2}\right)}{2}$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = - \frac{1}{2}$$
$$R = -0.5$$
Respuesta [src] 
/              2                        
|     (3 + 2*x)                         
|    ------------      for |3/2 + x| < 1
|    4*(-1/2 - x)                       
|                                       
|  oo                                   
< ___                                   
| \  `                                  
|  \    -n          n                   
|  /   2  *(3 + 2*x)       otherwise    
| /__,                                  
|n = 2                                  
\                                       
----------------------------------------
                   2
$$\frac{\begin{cases} \frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{4 \left(- x - \frac{1}{2}\right)} & \text{for}\: \left|{x + \frac{3}{2}}\right| < 1 \\\sum_{n=2}^{\infty} 2^{- n} \left(2 x + 3\right)^{n} & \text{otherwise} \end{cases}}{2}$$ 
Piecewise(((3 + 2*x)^2/(4*(-1/2 - x)), |3/2 + x| < 1), (Sum(2^(-n)*(3 + 2*x)^n, (n, 2, oo)), True))/2

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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