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pi^(-n)/(pi^n+3)
Suma de la serie/ pi^(-n)/(pi^n+3)

Suma de la serie pi^(-n)/(pi^n+3)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo         
____         
\   `        
 \        -n 
  \     pi   
   )  -------
  /     n    
 /    pi  + 3
/___,        
n = 1
∑n=1∞π−nπn+3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{- n}}{\pi^{n} + 3} 
Sum(pi^(-n)/(pi^n + 3), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
π−nπn+3\frac{\pi^{- n}}{\pi^{n} + 3}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=1πn+3a_{n} = \frac{1}{\pi^{n} + 3}
y
x0=−πx_{0} = - \pi
,
d=−1d = -1
,
c=0c = 0
entonces
1R=∞~(−π+lim⁡n→∞(πn+1+3πn+3))\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(- \pi + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\pi^{n + 1} + 3}{\pi^{n} + 3}\right)\right)
Tomamos como el límite
hallamos
1R=NaN\frac{1}{R} = \text{NaN}
1R=∞~\frac{1}{R} = \tilde{\infty}
R=0R = 0
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.50.0500.070
Respuesta numérica [src] 
0.0607638791205278947352136337822
0.0607638791205278947352136337822
Gráfico
Suma de la serie pi^(-n)/(pi^n+3)

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