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pi^-n/pi^n

Suma de la serie pi^-n/pi^n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo      
____      
\   `     
 \      -n
  \   pi  
   )  ----
  /     n 
 /    pi  
/___,     
n = 1     
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{- n}}{\pi^{n}}$$
Sum(pi^(-n)/pi^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\pi^{- n}}{\pi^{n}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = 1$$
y
$$x_{0} = - \pi$$
,
$$d = -2$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$\frac{1}{R^{2}} = \tilde{\infty} \left(- \pi + \lim_{n \to \infty} 1\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$\frac{1}{R^{2}} = \tilde{\infty}$$
$$R = 0$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
      1      
-------------
  2 /     1 \
pi *|1 - ---|
    |      2|
    \    pi /
$$\frac{1}{\pi^{2} \left(1 - \frac{1}{\pi^{2}}\right)}$$
1/(pi^2*(1 - 1/pi^2))
Respuesta numérica [src]
0.112744599959518002663912751139
0.112744599959518002663912751139
Gráfico
Suma de la serie pi^-n/pi^n

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie