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Suma de la serie tan(x/2^n)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo         
____         
\   `        
 \       /x \
  \   tan|--|
  /      | n|
 /       \2 /
/___,        
n = 1        
$$\sum_{n=1}^{\infty} \tan{\left(\frac{x}{2^{n}} \right)}$$
Sum(tan(x/2^n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\tan{\left(\frac{x}{2^{n}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \tan{\left(2^{- n} x \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\tan{\left(2^{- n} x \right)}}{\tan{\left(2^{- n - 1} x \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 2$$
Respuesta [src]
  oo            
 ___            
 \  `           
  \      /   -n\
  /   tan\x*2  /
 /__,           
n = 1           
$$\sum_{n=1}^{\infty} \tan{\left(2^{- n} x \right)}$$
Sum(tan(x*2^(-n)), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie