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Suma de la serie/ ((-1)^n)*x^2*n+1/(2*n+1)!

Suma de la serie ((-1)^n)*x^2*n+1/(2*n+1)!


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                           
 ___                           
 \  `                          
  \   /    n  2         1     \
   )  |(-1) *x *n + ----------|
  /   \             (2*n + 1)!/
 /__,                          
n = 0
∑n=0∞(n(−1)nx2+1(2n+1)!)\sum_{n=0}^{\infty} \left(n \left(-1\right)^{n} x^{2} + \frac{1}{\left(2 n + 1\right)!}\right) 
Sum(((-1)^n*x^2)*n + 1/factorial(2*n + 1), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
n(−1)nx2+1(2n+1)!n \left(-1\right)^{n} x^{2} + \frac{1}{\left(2 n + 1\right)!}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=(−1)nnx2+1(2n+1)!a_{n} = \left(-1\right)^{n} n x^{2} + \frac{1}{\left(2 n + 1\right)!}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞∣(−1)nnx2+1(2n+1)!(−1)n+1x2(n+1)+1(2n+3)!∣1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\left(-1\right)^{n} n x^{2} + \frac{1}{\left(2 n + 1\right)!}}{\left(-1\right)^{n + 1} x^{2} \left(n + 1\right) + \frac{1}{\left(2 n + 3\right)!}}}\right|
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src] 
  oo                           
 ___                           
 \  `                          
  \   /    1              n  2\
   )  |---------- + n*(-1) *x |
  /   \(1 + 2*n)!             /
 /__,                          
n = 0
∑n=0∞((−1)nnx2+1(2n+1)!)\sum_{n=0}^{\infty} \left(\left(-1\right)^{n} n x^{2} + \frac{1}{\left(2 n + 1\right)!}\right) 
Sum(1/factorial(1 + 2*n) + n*(-1)^n*x^2, (n, 0, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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