Sr Examen
Suma de la serie (2^n*x^(2n))/n^2
Solución
Ha introducido
[src]
oo ____ \ ` \ n 2*n \ 2 *x ) ------- / 2 / n /___, n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} x^{2 n}}{n^{2}}$$
Sum((2^n*x^(2*n))/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{2^{n} x^{2 n}}{n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{2^{n}}{n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 2$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R^{2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{n} 2^{- n - 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{2} = \frac{1}{2}$$
$$R = 0.707106781186548$$
$$\frac{2^{n} x^{2 n}}{n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{2^{n}}{n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 2$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R^{2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{n} 2^{- n - 1} \left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{2} = \frac{1}{2}$$
$$R = 0.707106781186548$$
Respuesta
[src]
/ / 2\ | 2| |polylog\2, 2*x / for 2*|x | <= 1 | | oo | ____ | \ ` < \ n 2*n | \ 2 *x | ) ------- otherwise | / 2 | / n | /___, \ n = 1
$$\begin{cases} \operatorname{Li}_{2}\left(2 x^{2}\right) & \text{for}\: 2 \left|{x^{2}}\right| \leq 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} x^{2 n}}{n^{2}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Piecewise((polylog(2, 2*x^2), 2*|x^2| <= 1), (Sum(2^n*x^(2*n)/n^2, (n, 1, oo)), True))
Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie
- Suma de la serie de potencias
x^n/n
(x-1)^n
- Factorial
1/2^(n!)
n^2/n!
x^n/n!
k!/(n!*(n+k)!)
- Serie de Flint Hills
csc(n)^2/n^3
- Serie de cuadrados inversos
1/n^2
1/n^4
1/n^6
- Serie armónica
1/n
- Serie de Grandi
(-1)^n
- Serie alternada
(-1)^(n + 1)/n
(n + 2)*(-1)^(n - 1)
(3*n - 1)/(-5)^n
(-1)^(n - 1)*n/(6*n - 5)
- Serie de Newton-Mercator
(-1)^(n + 1)/n*x^n
- Investigar la convergencia de la serie
(3*n - 1)/(-5)^n