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log(1+1/n)/n

Suma de la serie log(1+1/n)/n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo            
____            
\   `           
 \       /    1\
  \   log|1 + -|
   )     \    n/
  /   ----------
 /        n     
/___,           
n = 2           
n=2log(1+1n)n\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{n}
Sum(log(1 + 1/n)/n, (n, 2, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
log(1+1n)n\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{n}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=log(1+1n)na_{n} = \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{n}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((n+1)log(1+1n)nlog(1+1n+1))1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{n \log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Velocidad de la convergencia de la serie
2.08.02.53.03.54.04.55.05.56.06.57.07.50.000.50
Respuesta numérica [src]
0.564599706384424320592667709038
0.564599706384424320592667709038
Gráfico
Suma de la serie log(1+1/n)/n

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie