Sr Examen

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y(x)=sin(2x)+cos(2x)+xsin(2x)+sin2(2x)cos(2x)/2+cos(2x)cos(4x)/4
Derivada de la función/ y(x)=sin(2x)+cos(2x)+xsin(2x)+sin2(2x)cos(2x)/2+cos(2x)cos(4x)/4

Derivada de y(x)=sin(2x)+cos(2x)+xsin(2x)+sin2(2x)cos(2x)/2+cos(2x)cos(4x)/4

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                      2                                  
                                   sin (2*x)*cos(2*x)   cos(2*x)*cos(4*x)
sin(2*x) + cos(2*x) + x*sin(2*x) + ------------------ + -----------------
                                           2                    4
cos⁡(2x)cos⁡(4x)4+(sin⁡2(2x)cos⁡(2x)2+(xsin⁡(2x)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))))\frac{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(x \sin{\left(2 x \right)} + \left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)\right)\right) 
sin(2*x) + cos(2*x) + x*sin(2*x) + (sin(2*x)^2*cos(2*x))/2 + (cos(2*x)*cos(4*x))/4
Solución detallada

  1. diferenciamos cos⁡(2x)cos⁡(4x)4+(sin⁡2(2x)cos⁡(2x)2+(xsin⁡(2x)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))))\frac{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(x \sin{\left(2 x \right)} + \left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)\right)\right) miembro por miembro:

    1. diferenciamos sin⁡2(2x)cos⁡(2x)2+(xsin⁡(2x)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x)))\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(x \sin{\left(2 x \right)} + \left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)\right) miembro por miembro:

      1. diferenciamos xsin⁡(2x)+(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))x \sin{\left(2 x \right)} + \left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) miembro por miembro:

        1. diferenciamos sin⁡(2x)+cos⁡(2x)\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} miembro por miembro:

          1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 22

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

          4. Sustituimos u=2xu = 2 x.

          5. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 22

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −2sin⁡(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

          Como resultado de: −2sin⁡(2x)+2cos⁡(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}

        2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

          f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          g(x)=sin⁡(2x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 22

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

          Como resultado de: 2xcos⁡(2x)+sin⁡(2x)2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}

        Como resultado de: 2xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)+2cos⁡(2x)2 x \cos{\left(2 x \right)} - \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

          f(x)=sin⁡2(2x)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(2 x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

          2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(2x)\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}:

            1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: 22

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            4sin⁡(2x)cos⁡(2x)4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}

          g(x)=cos⁡(2x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 22

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −2sin⁡(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

          Como resultado de: −2sin⁡3(2x)+4sin⁡(2x)cos⁡2(2x)- 2 \sin^{3}{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}

        Entonces, como resultado: −sin⁡3(2x)+2sin⁡(2x)cos⁡2(2x)- \sin^{3}{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}

      Como resultado de: 2xcos⁡(2x)−sin⁡3(2x)+2sin⁡(2x)cos⁡2(2x)−sin⁡(2x)+2cos⁡(2x)2 x \cos{\left(2 x \right)} - \sin^{3}{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} - \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 22

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −2sin⁡(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

        g(x)=cos⁡(4x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=4xu = 4 x.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx4x\frac{d}{d x} 4 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 44

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −4sin⁡(4x)- 4 \sin{\left(4 x \right)}

        Como resultado de: −2sin⁡(2x)cos⁡(4x)−4sin⁡(4x)cos⁡(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} - 4 \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}

      Entonces, como resultado: −sin⁡(2x)cos⁡(4x)2−sin⁡(4x)cos⁡(2x)- \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{2} - \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}

    Como resultado de: 2xcos⁡(2x)−sin⁡3(2x)+2sin⁡(2x)cos⁡2(2x)−sin⁡(2x)cos⁡(4x)2−sin⁡(2x)−sin⁡(4x)cos⁡(2x)+2cos⁡(2x)2 x \cos{\left(2 x \right)} - \sin^{3}{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{2} - \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}

  2. Simplificamos:

    2xcos⁡(2x)−(1−cos⁡(2x))2sin⁡(2x)−sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)+sin⁡(6x)4+2cos⁡(2x)2 x \cos{\left(2 x \right)} - \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \sin{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{4} + 2 \cos{\left(2 x \right)}

Respuesta:

2xcos⁡(2x)−(1−cos⁡(2x))2sin⁡(2x)−sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)+sin⁡(6x)4+2cos⁡(2x)2 x \cos{\left(2 x \right)} - \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \sin{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{4} + 2 \cos{\left(2 x \right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5050
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
     3                                                                        2                 cos(4*x)*sin(2*x)
- sin (2*x) - sin(2*x) + 2*cos(2*x) - cos(2*x)*sin(4*x) + 2*x*cos(2*x) + 2*cos (2*x)*sin(2*x) - -----------------
                                                                                                        2
2xcos⁡(2x)−sin⁡3(2x)+2sin⁡(2x)cos⁡2(2x)−sin⁡(2x)cos⁡(4x)2−sin⁡(2x)−sin⁡(4x)cos⁡(2x)+2cos⁡(2x)2 x \cos{\left(2 x \right)} - \sin^{3}{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{2} - \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                   3              2                                                                         
-4*sin(2*x) + 4*cos (2*x) - 14*sin (2*x)*cos(2*x) - 5*cos(2*x)*cos(4*x) - 4*x*sin(2*x) + 4*sin(2*x)*sin(4*x)
−4xsin⁡(2x)−14sin⁡2(2x)cos⁡(2x)+4sin⁡(2x)sin⁡(4x)−4sin⁡(2x)+4cos⁡3(2x)−5cos⁡(2x)cos⁡(4x)- 4 x \sin{\left(2 x \right)} - 14 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(4 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos^{3}{\left(2 x \right)} - 5 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                                 3              2                                                                           \
2*\-4*cos(2*x) - 2*sin(2*x) + 14*sin (2*x) - 40*cos (2*x)*sin(2*x) - 4*x*cos(2*x) + 13*cos(4*x)*sin(2*x) + 14*cos(2*x)*sin(4*x)/
2(−4xcos⁡(2x)+14sin⁡3(2x)−40sin⁡(2x)cos⁡2(2x)+13sin⁡(2x)cos⁡(4x)−2sin⁡(2x)+14sin⁡(4x)cos⁡(2x)−4cos⁡(2x))2 \left(- 4 x \cos{\left(2 x \right)} + 14 \sin^{3}{\left(2 x \right)} - 40 \sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} + 13 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} + 14 \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y(x)=sin(2x)+cos(2x)+xsin(2x)+sin2(2x)cos(2x)/2+cos(2x)cos(4x)/4
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