Derivada de x+ln(1-e^-x)

1. diferenciamos $x + \log{\left(1 - e^{- x} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   2. Sustituimos $u = 1 - e^{- x}$.

   3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - e^{- x}\right)$:

      1. diferenciamos $1 - e^{- x}$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = - x$.

            2. Derivado $e^{u}$ es.

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $-1$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- e^{- x}$

            Entonces, como resultado: $e^{- x}$

         Como resultado de: $e^{- x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}$

   Como resultado de: $1 + \frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$

Respuesta:

$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$