Derivada de y=x^3*(sin^4*x+9)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} + 9$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\sin^{4}{\left(x \right)} + 9$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      4. La derivada de una constante $9$ es igual a cero.

      Como resultado de: $4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $4 x^{3} \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \left(\sin^{4}{\left(x \right)} + 9\right)$

2. Simplificamos:

   $x^{2} \left(4 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} + 27\right)$

Respuesta:

$x^{2} \left(4 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} + 27\right)$