Derivada de e^(x*(-2))*sin(x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{\left(-2\right) x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \left(-2\right) x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(-2\right) x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $-2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 e^{\left(-2\right) x}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- 2 e^{\left(-2\right) x} \sin{\left(x \right)} + e^{\left(-2\right) x} \cos{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}$

Respuesta:

$\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}$