Derivada de x*log(1+1/x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 1 + \frac{1}{x}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 + \frac{1}{x}\right)$:

      1. diferenciamos $1 + \frac{1}{x}$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

         Como resultado de: $- \frac{1}{x^{2}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$

   Como resultado de: $\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)} - 1}{x + 1}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)} - 1}{x + 1}$