Derivada de x*ln(x-(5/x))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(x - \frac{5}{x} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x - \frac{5}{x}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - \frac{5}{x}\right)$:

      1. diferenciamos $x - \frac{5}{x}$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

            Entonces, como resultado: $\frac{5}{x^{2}}$

         Como resultado de: $1 + \frac{5}{x^{2}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1 + \frac{5}{x^{2}}}{x - \frac{5}{x}}$

   Como resultado de: $\frac{x \left(1 + \frac{5}{x^{2}}\right)}{x - \frac{5}{x}} + \log{\left(x - \frac{5}{x} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} + \left(x^{2} - 5\right) \log{\left(\frac{x^{2} - 5}{x} \right)} + 5}{x^{2} - 5}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} + \left(x^{2} - 5\right) \log{\left(\frac{x^{2} - 5}{x} \right)} + 5}{x^{2} - 5}$