Derivada de x(sin(lnx)-cos(lnx))+4sin(x-1)

1. diferenciamos $x \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + 4 \sin{\left(x - 1 \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ miembro por miembro:

         1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

            1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

         4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

               1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

            Entonces, como resultado: $\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

         Como resultado de: $\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

      Como resultado de: $x \left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = x - 1$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)$:

         1. diferenciamos $x - 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\cos{\left(x - 1 \right)}$

      Entonces, como resultado: $4 \cos{\left(x - 1 \right)}$

   Como resultado de: $x \left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 4 \cos{\left(x - 1 \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

2. Simplificamos:

   $2 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 4 \cos{\left(x - 1 \right)}$

Respuesta:

$2 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 4 \cos{\left(x - 1 \right)}$