Sr Examen

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y=sqrt(1-cosx+1/4cos^2x)
Derivada de la función/ -cosx/ cos^2/ cosx+1/ y=sqrt(1-cosx+1/4cos^2x)

Derivada de y=sqrt(1-cosx+1/4cos^2x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     ______________________
    /                 2    
   /               cos (x) 
  /   1 - cos(x) + ------- 
\/                    4
(1−cos⁡(x))+cos⁡2(x)4\sqrt{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}} 
sqrt(1 - cos(x) + cos(x)^2/4)
Solución detallada

  1. Sustituimos u=(1−cos⁡(x))+cos⁡2(x)4u = \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}.

  2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx((1−cos⁡(x))+cos⁡2(x)4)\frac{d}{d x} \left(\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\right):

    1. diferenciamos (1−cos⁡(x))+cos⁡2(x)4\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} miembro por miembro:

      1. diferenciamos 1−cos⁡(x)1 - \cos{\left(x \right)} miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Entonces, como resultado: sin⁡(x)\sin{\left(x \right)}

        Como resultado de: sin⁡(x)\sin{\left(x \right)}

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −2sin⁡(x)cos⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

        Entonces, como resultado: −sin⁡(x)cos⁡(x)2- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}

      Como resultado de: −sin⁡(x)cos⁡(x)2+sin⁡(x)- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    −sin⁡(x)cos⁡(x)2+sin⁡(x)2(1−cos⁡(x))+cos⁡2(x)4\frac{- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}}}

  4. Simplificamos:

    (2−cos⁡(x))sin⁡(x)2∣cos⁡(x)−2∣\frac{\left(2 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left|{\cos{\left(x \right)} - 2}\right|}

Respuesta:

(2−cos⁡(x))sin⁡(x)2∣cos⁡(x)−2∣\frac{\left(2 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left|{\cos{\left(x \right)} - 2}\right|}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10102-2
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
   sin(x)   cos(x)*sin(x)  
   ------ - -------------  
     2            4        
---------------------------
     ______________________
    /                 2    
   /               cos (x) 
  /   1 - cos(x) + ------- 
\/                    4
−sin⁡(x)cos⁡(x)4+sin⁡(x)2(1−cos⁡(x))+cos⁡2(x)4\frac{- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}}{\sqrt{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                  2    2   
       2           2                 (-2 + cos(x)) *sin (x)
- 4*cos (x) + 4*sin (x) + 8*cos(x) - ----------------------
                                                      2    
                                                   cos (x) 
                                      1 - cos(x) + ------- 
                                                      4    
-----------------------------------------------------------
                       ______________________              
                      /                 2                  
                     /               cos (x)               
               16*  /   1 - cos(x) + -------               
                  \/                    4
−(cos⁡(x)−2)2sin⁡2(x)cos⁡2(x)4−cos⁡(x)+1+4sin⁡2(x)−4cos⁡2(x)+8cos⁡(x)16cos⁡2(x)4−cos⁡(x)+1\frac{- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 2\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)} + 1} + 4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}}{16 \sqrt{\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)} + 1}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
/                      3    2                       /   2         2              \         \       
|  1    3*(-2 + cos(x)) *sin (x)    3*(-2 + cos(x))*\sin (x) - cos (x) + 2*cos(x)/         |       
|- - - -------------------------- + ---------------------------------------------- + cos(x)|*sin(x)
|  2                            2                /                2   \                    |       
|         /                2   \                 |             cos (x)|                    |       
|         |             cos (x)|              16*|1 - cos(x) + -------|                    |       
|      64*|1 - cos(x) + -------|                 \                4   /                    |       
\         \                4   /                                                           /       
---------------------------------------------------------------------------------------------------
                                         ______________________                                    
                                        /                 2                                        
                                       /               cos (x)                                     
                                      /   1 - cos(x) + -------                                     
                                    \/                    4
(−3(cos⁡(x)−2)3sin⁡2(x)64(cos⁡2(x)4−cos⁡(x)+1)2+3(cos⁡(x)−2)(sin⁡2(x)−cos⁡2(x)+2cos⁡(x))16(cos⁡2(x)4−cos⁡(x)+1)+cos⁡(x)−12)sin⁡(x)cos⁡2(x)4−cos⁡(x)+1\frac{\left(- \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} - 2\right)^{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{64 \left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} - 2\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)}{16 \left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)} + 1\right)} + \cos{\left(x \right)} - \frac{1}{2}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)} + 1}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=sqrt(1-cosx+1/4cos^2x)
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