Derivada de sin(tgx)

Solución

Ha introducido [src]

sin(tan(x))

$$\sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

sin(tan(x))

Solución detallada

Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
La derivada del seno es igual al coseno:

$\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{\cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

/       2   \            
\1 + tan (x)/*cos(tan(x))

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/       2   \ /  /       2   \                                   \
\1 + tan (x)/*\- \1 + tan (x)/*sin(tan(x)) + 2*cos(tan(x))*tan(x)/

$$\left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

              /               2                                                                                                       \
/       2   \ |  /       2   \                  /       2   \                    2                    /       2   \                   |
\1 + tan (x)/*\- \1 + tan (x)/ *cos(tan(x)) + 2*\1 + tan (x)/*cos(tan(x)) + 4*tan (x)*cos(tan(x)) - 6*\1 + tan (x)/*sin(tan(x))*tan(x)/

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 4 \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}\right)$$

Simplificar

Gráfico

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¿Cómo usar?

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