Derivada de sqrt(1+7*x)/sin(3*x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{7 x + 1}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 7 x + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(7 x + 1\right)$:

      1. diferenciamos $7 x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $7$

         Como resultado de: $7$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{7}{2 \sqrt{7 x + 1}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \cos{\left(3 x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 3 \sqrt{7 x + 1} \cos{\left(3 x \right)} + \frac{7 \sin{\left(3 x \right)}}{2 \sqrt{7 x + 1}}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(- 42 x - 6\right) \cos{\left(3 x \right)} + 7 \sin{\left(3 x \right)}}{2 \sqrt{7 x + 1} \sin^{2}{\left(3 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\left(- 42 x - 6\right) \cos{\left(3 x \right)} + 7 \sin{\left(3 x \right)}}{2 \sqrt{7 x + 1} \sin^{2}{\left(3 x \right)}}$