Derivada de x*log(2*x)+2^sin(x)

1. diferenciamos $2^{\sin{\left(x \right)}} + x \log{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{x}$

      Como resultado de: $\log{\left(2 x \right)} + 1$

   2. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   3. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2^{\sin{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $2^{\sin{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)} + \log{\left(2 x \right)} + 1$

2. Simplificamos:

   $\log{\left(2^{2^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}} \right)} + \log{\left(2 x \right)} + 1$

Respuesta:

$\log{\left(2^{2^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}} \right)} + \log{\left(2 x \right)} + 1$