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y=2*x/(x^2+2*x)+3*sin(x^4)

Derivada de y=2*x/(x^2+2*x)+3*sin(x^4)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  2*x           / 4\
-------- + 3*sin\x /
 2                  
x  + 2*x            
2xx2+2x+3sin(x4)\frac{2 x}{x^{2} + 2 x} + 3 \sin{\left(x^{4} \right)}
(2*x)/(x^2 + 2*x) + 3*sin(x^4)
Solución detallada
  1. diferenciamos 2xx2+2x+3sin(x4)\frac{2 x}{x^{2} + 2 x} + 3 \sin{\left(x^{4} \right)} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=2xf{\left(x \right)} = 2 x y g(x)=x2+2xg{\left(x \right)} = x^{2} + 2 x.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        Entonces, como resultado: 22

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos x2+2xx^{2} + 2 x miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 22

        Como resultado de: 2x+22 x + 2

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      2x22x(2x+2)+4x(x2+2x)2\frac{2 x^{2} - 2 x \left(2 x + 2\right) + 4 x}{\left(x^{2} + 2 x\right)^{2}}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=x4u = x^{4}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx4\frac{d}{d x} x^{4}:

        1. Según el principio, aplicamos: x4x^{4} tenemos 4x34 x^{3}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        4x3cos(x4)4 x^{3} \cos{\left(x^{4} \right)}

      Entonces, como resultado: 12x3cos(x4)12 x^{3} \cos{\left(x^{4} \right)}

    Como resultado de: 12x3cos(x4)+2x22x(2x+2)+4x(x2+2x)212 x^{3} \cos{\left(x^{4} \right)} + \frac{2 x^{2} - 2 x \left(2 x + 2\right) + 4 x}{\left(x^{2} + 2 x\right)^{2}}

  2. Simplificamos:

    12x3cos(x4)2(x+2)212 x^{3} \cos{\left(x^{4} \right)} - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}}


Respuesta:

12x3cos(x4)2(x+2)212 x^{3} \cos{\left(x^{4} \right)} - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Primera derivada [src]
   2           3    / 4\   2*x*(-2 - 2*x)
-------- + 12*x *cos\x / + --------------
 2                                    2  
x  + 2*x                    / 2      \   
                            \x  + 2*x/   
12x3cos(x4)+2x(2x2)(x2+2x)2+2x2+2x12 x^{3} \cos{\left(x^{4} \right)} + \frac{2 x \left(- 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2} + 2 x}
Segunda derivada [src]
  /                                                                      2\
  |      1            6    / 4\      2    / 4\    2*(1 + x)     4*(1 + x) |
4*|- ---------- - 12*x *sin\x / + 9*x *cos\x / - ----------- + -----------|
  |           2                                   2        2    2        3|
  \  x*(2 + x)                                   x *(2 + x)    x *(2 + x) /
4(12x6sin(x4)+9x2cos(x4)1x(x+2)2+4(x+1)2x2(x+2)32(x+1)x2(x+2)2)4 \left(- 12 x^{6} \sin{\left(x^{4} \right)} + 9 x^{2} \cos{\left(x^{4} \right)} - \frac{1}{x \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 2\right)^{3}} - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right)
Tercera derivada [src]
   /                                                                        3             2              \
   |       1            5    / 4\       9    / 4\          / 4\    8*(1 + x)     4*(1 + x)     4*(1 + x) |
12*|- ----------- - 36*x *sin\x / - 16*x *cos\x / + 6*x*cos\x / - ----------- + ----------- + -----------|
   |   2        2                                                  3        4    3        3    2        3|
   \  x *(2 + x)                                                  x *(2 + x)    x *(2 + x)    x *(2 + x) /
12(16x9cos(x4)36x5sin(x4)+6xcos(x4)+4(x+1)x2(x+2)31x2(x+2)28(x+1)3x3(x+2)4+4(x+1)2x3(x+2)3)12 \left(- 16 x^{9} \cos{\left(x^{4} \right)} - 36 x^{5} \sin{\left(x^{4} \right)} + 6 x \cos{\left(x^{4} \right)} + \frac{4 \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 2\right)^{3}} - \frac{1}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}} - \frac{8 \left(x + 1\right)^{3}}{x^{3} \left(x + 2\right)^{4}} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{3} \left(x + 2\right)^{3}}\right)
Gráfico
Derivada de y=2*x/(x^2+2*x)+3*sin(x^4)