Sr Examen

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y=ln(sinx*sqrt(1-(x^2)))
Derivada de la función/ (x^2)/ x*sqrt/ y=ln(sinx*sqrt(1-(x^2)))

Derivada de y=ln(sinx*sqrt(1-(x^2)))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /          ________\
   |         /      2 |
log\sin(x)*\/  1 - x  /
log⁡(1−x2sin⁡(x))\log{\left(\sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)} \right)} 
log(sin(x)*sqrt(1 - x^2))
Solución detallada

  1. Sustituimos u=1−x2sin⁡(x)u = \sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)}.

  2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx1−x2sin⁡(x)\frac{d}{d x} \sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      g(x)=1−x2g{\left(x \right)} = \sqrt{1 - x^{2}}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=1−x2u = 1 - x^{2}.

      2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(1−x2)\frac{d}{d x} \left(1 - x^{2}\right):

        1. diferenciamos 1−x21 - x^{2} miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

            Entonces, como resultado: −2x- 2 x

          Como resultado de: −2x- 2 x

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −x1−x2- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

      Como resultado de: −xsin⁡(x)1−x2+1−x2cos⁡(x)- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sqrt{1 - x^{2}} \cos{\left(x \right)}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    −xsin⁡(x)1−x2+1−x2cos⁡(x)1−x2sin⁡(x)\frac{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sqrt{1 - x^{2}} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)}}

  4. Simplificamos:

    −x2tan⁡(x)−x+1tan⁡(x)1−x2\frac{- \frac{x^{2}}{\tan{\left(x \right)}} - x + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}{1 - x^{2}}

Respuesta:

−x2tan⁡(x)−x+1tan⁡(x)1−x2\frac{- \frac{x^{2}}{\tan{\left(x \right)}} - x + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}{1 - x^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-200200
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
   ________                     
  /      2             x*sin(x) 
\/  1 - x  *cos(x) - -----------
                        ________
                       /      2 
                     \/  1 - x  
--------------------------------
          ________              
         /      2               
       \/  1 - x  *sin(x)
−xsin⁡(x)1−x2+1−x2cos⁡(x)1−x2sin⁡(x)\frac{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sqrt{1 - x^{2}} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                     /     ________                     \            /     ________                     \                            
                                     |    /      2             x*sin(x) |            |    /      2             x*sin(x) |                            
                                     |- \/  1 - x  *cos(x) + -----------|*cos(x)   x*|- \/  1 - x  *cos(x) + -----------|                            
                                     |                          ________|            |                          ________|                            
     ________                        |                         /      2 |            |                         /      2 |     2                      
    /      2              sin(x)     \                       \/  1 - x  /            \                       \/  1 - x  /    x *sin(x)     2*x*cos(x)
- \/  1 - x  *sin(x) - ----------- + ------------------------------------------- - -------------------------------------- - ----------- - -----------
                          ________                      sin(x)                                          2                           3/2      ________
                         /      2                                                                  1 - x                    /     2\        /      2 
                       \/  1 - x                                                                                            \1 - x /      \/  1 - x  
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                     ________                                                                        
                                                                    /      2                                                                         
                                                                  \/  1 - x  *sin(x)
−x2sin⁡(x)(1−x2)32−x(xsin⁡(x)1−x2−1−x2cos⁡(x))1−x2−2xcos⁡(x)1−x2−1−x2sin⁡(x)+(xsin⁡(x)1−x2−1−x2cos⁡(x))cos⁡(x)sin⁡(x)−sin⁡(x)1−x21−x2sin⁡(x)\frac{- \frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{x \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \sqrt{1 - x^{2}} \cos{\left(x \right)}\right)}{1 - x^{2}} - \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)} + \frac{\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \sqrt{1 - x^{2}} \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
       ________                                                         /     ________                     \                                   /   ________                          2                      \             /     ________                     \                   /   ________                          2                      \              /     ________                     \       
      /      2             x*sin(x)                                   2 |    /      2             x*sin(x) |                                   |  /      2              sin(x)      x *sin(x)     2*x*cos(x)|        2    |    /      2             x*sin(x) |                   |  /      2              sin(x)      x *sin(x)     2*x*cos(x)|              |    /      2             x*sin(x) |       
  - \/  1 - x  *cos(x) + -----------                               3*x *|- \/  1 - x  *cos(x) + -----------|                               2*x*|\/  1 - x  *sin(x) + ----------- + ----------- + -----------|   2*cos (x)*|- \/  1 - x  *cos(x) + -----------|                 2*|\/  1 - x  *sin(x) + ----------- + ----------- + -----------|*cos(x)   2*x*|- \/  1 - x  *cos(x) + -----------|*cos(x)
                            ________                                    |                          ________|                                   |                        ________           3/2      ________|             |                          ________|                   |                        ________           3/2      ________|              |                          ________|       
                           /      2                                     |                         /      2 |      2             3              |                       /      2    /     2\        /      2 |             |                         /      2 |                   |                       /      2    /     2\        /      2 |              |                         /      2 |       
                         \/  1 - x       3*cos(x)     3*x*sin(x)        \                       \/  1 - x  /   3*x *cos(x)   3*x *sin(x)       \                     \/  1 - x     \1 - x /      \/  1 - x  /             \                       \/  1 - x  /    2*x*sin(x)     \                     \/  1 - x     \1 - x /      \/  1 - x  /              \                       \/  1 - x  /       
- ---------------------------------- - ----------- - ----------- - ----------------------------------------- - ----------- - ----------- - ------------------------------------------------------------------ - ---------------------------------------------- + ----------- + ----------------------------------------------------------------------- + -----------------------------------------------
                     2                    ________           3/2                           2                           3/2           5/2                                      2                                                       2                             ________                                    sin(x)                                                   /     2\                       
                1 - x                    /      2    /     2\                      /     2\                    /     2\      /     2\                                    1 - x                                                     sin (x)                         /      2                                                                                              \1 - x /*sin(x)                
                                       \/  1 - x     \1 - x /                      \1 - x /                    \1 - x /      \1 - x /                                                                                                                            \/  1 - x                                                                                                                              
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                              ________                                                                                                                                                                                                  
                                                                                                                                                                                             /      2                                                                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                           \/  1 - x  *sin(x)
−3x3sin⁡(x)(1−x2)52−3x2(xsin⁡(x)1−x2−1−x2cos⁡(x))(1−x2)2−3x2cos⁡(x)(1−x2)32+2x(xsin⁡(x)1−x2−1−x2cos⁡(x))cos⁡(x)(1−x2)sin⁡(x)−2x(x2sin⁡(x)(1−x2)32+2xcos⁡(x)1−x2+1−x2sin⁡(x)+sin⁡(x)1−x2)1−x2+2xsin⁡(x)1−x2−3xsin⁡(x)(1−x2)32−2(xsin⁡(x)1−x2−1−x2cos⁡(x))cos⁡2(x)sin⁡2(x)+2(x2sin⁡(x)(1−x2)32+2xcos⁡(x)1−x2+1−x2sin⁡(x)+sin⁡(x)1−x2)cos⁡(x)sin⁡(x)−xsin⁡(x)1−x2−1−x2cos⁡(x)1−x2−3cos⁡(x)1−x21−x2sin⁡(x)\frac{- \frac{3 x^{3} \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{3 x^{2} \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \sqrt{1 - x^{2}} \cos{\left(x \right)}\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(x \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 x \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \sqrt{1 - x^{2}} \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(1 - x^{2}\right) \sin{\left(x \right)}} - \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)}{1 - x^{2}} + \frac{2 x \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{3 x \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2 \left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \sqrt{1 - x^{2}} \cos{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \sqrt{1 - x^{2}} \cos{\left(x \right)}}{1 - x^{2}} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\sqrt{1 - x^{2}} \sin{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ln(sinx*sqrt(1-(x^2)))
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