Sr Examen

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Derivada de la función/ sin^2/ y=5ctg/ y=5ctg*(lnx)*sin^2x

Derivada de y=5ctg*(lnx)*sin^2x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 2   
5*cot(log(x))*sin (x)
sin⁡2(x)5cot⁡(log⁡(x))\sin^{2}{\left(x \right)} 5 \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} 
(5*cot(log(x)))*sin(x)^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=5cot⁡(log⁡(x))f{\left(x \right)} = 5 \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(log⁡(x))=1tan⁡(log⁡(x))\cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}

        2. Sustituimos u=tan⁡(log⁡(x))u = \tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(log⁡(x))\frac{d}{d x} \tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(log⁡(x))=sin⁡(log⁡(x))cos⁡(log⁡(x))\tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(log⁡(x))f{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} y g(x)=cos⁡(log⁡(x))g{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxlog⁡(x)\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}:

              1. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              cos⁡(log⁡(x))x\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxlog⁡(x)\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}:

              1. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              −sin⁡(log⁡(x))x- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin⁡2(log⁡(x))x+cos⁡2(log⁡(x))xcos⁡2(log⁡(x))\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡2(log⁡(x))x+cos⁡2(log⁡(x))xcos⁡2(log⁡(x))tan⁡2(log⁡(x))- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(log⁡(x))=cos⁡(log⁡(x))sin⁡(log⁡(x))\cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=cos⁡(log⁡(x))f{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} y g(x)=sin⁡(log⁡(x))g{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxlog⁡(x)\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}:

            1. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −sin⁡(log⁡(x))x- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxlog⁡(x)\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}:

            1. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            cos⁡(log⁡(x))x\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          −sin⁡2(log⁡(x))x−cos⁡2(log⁡(x))xsin⁡2(log⁡(x))\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}

      Entonces, como resultado: −5(sin⁡2(log⁡(x))x+cos⁡2(log⁡(x))x)cos⁡2(log⁡(x))tan⁡2(log⁡(x))- \frac{5 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}

    g(x)=sin⁡2(x)g{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2sin⁡(x)cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    Como resultado de: −5(sin⁡2(log⁡(x))x+cos⁡2(log⁡(x))x)sin⁡2(x)cos⁡2(log⁡(x))tan⁡2(log⁡(x))+10sin⁡(x)cos⁡(x)cot⁡(log⁡(x))- \frac{5 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + 10 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)}

  2. Simplificamos:

    5xcos⁡(2x−2log⁡(x))2−5xcos⁡(2x+2log⁡(x))2+5cos⁡(2x)−5x(1−cos⁡(2log⁡(x)))\frac{\frac{5 x \cos{\left(2 x - 2 \log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{5 x \cos{\left(2 x + 2 \log{\left(x \right)} \right)}}{2} + 5 \cos{\left(2 x \right)} - 5}{x \left(1 - \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}\right)}

Respuesta:

5xcos⁡(2x−2log⁡(x))2−5xcos⁡(2x+2log⁡(x))2+5cos⁡(2x)−5x(1−cos⁡(2log⁡(x)))\frac{\frac{5 x \cos{\left(2 x - 2 \log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{5 x \cos{\left(2 x + 2 \log{\left(x \right)} \right)}}{2} + 5 \cos{\left(2 x \right)} - 5}{x \left(1 - \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}\right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-500500
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
     2    /        2        \                               
5*sin (x)*\-1 - cot (log(x))/                               
----------------------------- + 10*cos(x)*cot(log(x))*sin(x)
              x
10sin⁡(x)cos⁡(x)cot⁡(log⁡(x))+5(−cot⁡2(log⁡(x))−1)sin⁡2(x)x10 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{5 \left(- \cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                                         2    /       2        \                         /       2        \              \
  |    /   2         2   \               sin (x)*\1 + cot (log(x))/*(1 + 2*cot(log(x)))   4*\1 + cot (log(x))/*cos(x)*sin(x)|
5*|- 2*\sin (x) - cos (x)/*cot(log(x)) + ---------------------------------------------- - ----------------------------------|
  |                                                             2                                         x                 |
  \                                                            x                                                            /
5(−2(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))cot⁡(log⁡(x))−4(cot⁡2(log⁡(x))+1)sin⁡(x)cos⁡(x)x+(2cot⁡(log⁡(x))+1)(cot⁡2(log⁡(x))+1)sin⁡2(x)x2)5 \left(- 2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{4 \left(\cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{\left(2 \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
   /                                 /       2        \ /   2         2   \      2    /       2        \ /         2                        \     /       2        \                                  \
   |                               3*\1 + cot (log(x))/*\sin (x) - cos (x)/   sin (x)*\1 + cot (log(x))/*\2 + 3*cot (log(x)) + 3*cot(log(x))/   3*\1 + cot (log(x))/*(1 + 2*cot(log(x)))*cos(x)*sin(x)|
10*|-4*cos(x)*cot(log(x))*sin(x) + ---------------------------------------- - --------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------|
   |                                                  x                                                       3                                                            2                          |
   \                                                                                                         x                                                            x                           /
10(−4sin⁡(x)cos⁡(x)cot⁡(log⁡(x))+3(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))(cot⁡2(log⁡(x))+1)x+3(2cot⁡(log⁡(x))+1)(cot⁡2(log⁡(x))+1)sin⁡(x)cos⁡(x)x2−(cot⁡2(log⁡(x))+1)(3cot⁡2(log⁡(x))+3cot⁡(log⁡(x))+2)sin⁡2(x)x3)10 \left(- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{3 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right)}{x} + \frac{3 \left(2 \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{\left(\cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 3 \cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)
Simplificar
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