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y=(sin(cos^-1(x^1/4)))

Derivada de y=(sin(cos^-1(x^1/4)))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   /    1     \
sin|----------|
   |   /4 ___\|
   \cos\\/ x //
sin(1cos(x4))\sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}
sin(1/cos(x^(1/4)))
Solución detallada
  1. Sustituimos u=1cos(x4)u = \frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}.

  2. La derivada del seno es igual al coseno:

    ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx1cos(x4)\frac{d}{d x} \frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}:

    1. Sustituimos u=cos(x4)u = \cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos(x4)\frac{d}{d x} \cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}:

      1. Sustituimos u=x4u = \sqrt[4]{x}.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx4\frac{d}{d x} \sqrt[4]{x}:

        1. Según el principio, aplicamos: x4\sqrt[4]{x} tenemos 14x34\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        sin(x4)4x34- \frac{\sin{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}{4 x^{\frac{3}{4}}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      sin(x4)4x34cos2(x4)\frac{\sin{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}{4 x^{\frac{3}{4}} \cos^{2}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    sin(x4)cos(1cos(x4))4x34cos2(x4)\frac{\sin{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{4 x^{\frac{3}{4}} \cos^{2}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}


Respuesta:

sin(x4)cos(1cos(x4))4x34cos2(x4)\frac{\sin{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{4 x^{\frac{3}{4}} \cos^{2}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Primera derivada [src]
   /    1     \    /4 ___\
cos|----------|*sin\\/ x /
   |   /4 ___\|           
   \cos\\/ x //           
--------------------------
       3/4    2/4 ___\    
    4*x   *cos \\/ x /    
sin(x4)cos(1cos(x4))4x34cos2(x4)\frac{\sin{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{4 x^{\frac{3}{4}} \cos^{2}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}
Segunda derivada [src]
   /    1     \      2/4 ___\    /    1     \        /    1     \    /4 ___\        2/4 ___\    /    1     \
cos|----------|   sin \\/ x /*sin|----------|   3*cos|----------|*sin\\/ x /   2*sin \\/ x /*cos|----------|
   |   /4 ___\|                  |   /4 ___\|        |   /4 ___\|                               |   /4 ___\|
   \cos\\/ x //                  \cos\\/ x //        \cos\\/ x //                               \cos\\/ x //
--------------- - --------------------------- - ---------------------------- + -----------------------------
       3/2               3/2    3/4 ___\               7/4    /4 ___\                  3/2    2/4 ___\      
      x                 x   *cos \\/ x /              x   *cos\\/ x /                 x   *cos \\/ x /      
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                     /4 ___\                                                
                                               16*cos\\/ x /                                                
sin2(x4)sin(1cos(x4))x32cos3(x4)+2sin2(x4)cos(1cos(x4))x32cos2(x4)+cos(1cos(x4))x323sin(x4)cos(1cos(x4))x74cos(x4)16cos(x4)\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{3}{2}} \cos^{3}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{3}{2}} \cos^{2}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \sin{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{7}{4}} \cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}}{16 \cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}
Tercera derivada [src]
       /    1     \      3/4 ___\    /    1     \         2/4 ___\    /    1     \        3/4 ___\    /    1     \        /4 ___\    /    1     \        /    1     \    /4 ___\        3/4 ___\    /    1     \        2/4 ___\    /    1     \         /    1     \    /4 ___\
  9*cos|----------|   sin \\/ x /*cos|----------|   18*sin \\/ x /*cos|----------|   6*sin \\/ x /*sin|----------|   3*sin\\/ x /*sin|----------|   5*cos|----------|*sin\\/ x /   6*sin \\/ x /*cos|----------|   9*sin \\/ x /*sin|----------|   21*cos|----------|*sin\\/ x /
       |   /4 ___\|                  |   /4 ___\|                     |   /4 ___\|                    |   /4 ___\|                   |   /4 ___\|        |   /4 ___\|                               |   /4 ___\|                    |   /4 ___\|         |   /4 ___\|           
       \cos\\/ x //                  \cos\\/ x //                     \cos\\/ x //                    \cos\\/ x //                   \cos\\/ x //        \cos\\/ x //                               \cos\\/ x //                    \cos\\/ x //         \cos\\/ x //           
- ----------------- - --------------------------- - ------------------------------ - ----------------------------- - ---------------------------- + ---------------------------- + ----------------------------- + ----------------------------- + -----------------------------
          5/2                9/4    5/4 ___\                5/2    2/4 ___\                  9/4    4/4 ___\                9/4    2/4 ___\                9/4    /4 ___\                  9/4    3/4 ___\                 5/2    3/4 ___\                 11/4    /4 ___\      
         x                  x   *cos \\/ x /               x   *cos \\/ x /                 x   *cos \\/ x /               x   *cos \\/ x /               x   *cos\\/ x /                 x   *cos \\/ x /                x   *cos \\/ x /                x    *cos\\/ x /      
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                       /4 ___\                                                                                                                                  
                                                                                                                                 64*cos\\/ x /                                                                                                                                  
9sin2(x4)sin(1cos(x4))x52cos3(x4)18sin2(x4)cos(1cos(x4))x52cos2(x4)9cos(1cos(x4))x526sin3(x4)sin(1cos(x4))x94cos4(x4)+6sin3(x4)cos(1cos(x4))x94cos3(x4)sin3(x4)cos(1cos(x4))x94cos5(x4)3sin(x4)sin(1cos(x4))x94cos2(x4)+5sin(x4)cos(1cos(x4))x94cos(x4)+21sin(x4)cos(1cos(x4))x114cos(x4)64cos(x4)\frac{\frac{9 \sin^{2}{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{5}{2}} \cos^{3}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} - \frac{18 \sin^{2}{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{5}{2}} \cos^{2}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} - \frac{9 \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{5}{2}}} - \frac{6 \sin^{3}{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{9}{4}} \cos^{4}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} + \frac{6 \sin^{3}{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{9}{4}} \cos^{3}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} - \frac{\sin^{3}{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{9}{4}} \cos^{5}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} - \frac{3 \sin{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{9}{4}} \cos^{2}{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} + \frac{5 \sin{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{9}{4}} \cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} + \frac{21 \sin{\left(\sqrt[4]{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}} \right)}}{x^{\frac{11}{4}} \cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}}{64 \cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}}
Gráfico
Derivada de y=(sin(cos^-1(x^1/4)))