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x*tgx-0,5*ln(1+tg^2x)
Derivada de la función/ x*tgx/ tg^2x/ x*tgx-0,5*ln(1+tg^2x)

Derivada de x*tgx-0,5*ln(1+tg^2x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /       2   \
           log\1 + tan (x)/
x*tan(x) - ----------------
                  2
xtan⁡(x)−log⁡(tan⁡2(x)+1)2x \tan{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} 
x*tan(x) - log(1 + tan(x)^2)/2
Solución detallada

  1. diferenciamos xtan⁡(x)−log⁡(tan⁡2(x)+1)2x \tan{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=tan⁡(x)g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de: x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)+tan⁡(x)\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=tan⁡2(x)+1u = \tan^{2}{\left(x \right)} + 1.

      2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(tan⁡2(x)+1)\frac{d}{d x} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right):

        1. diferenciamos tan⁡2(x)+1\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

          3. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

            1. ddxtan⁡(x)=1cos⁡2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡(x)cos⁡2(x)\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de: 2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡(x)cos⁡2(x)\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡(x)(tan⁡2(x)+1)cos⁡2(x)\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}

      Entonces, como resultado: −(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡(x)(tan⁡2(x)+1)cos⁡2(x)- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de: x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)−(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡(x)(tan⁡2(x)+1)cos⁡2(x)+tan⁡(x)\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}

  2. Simplificamos:

    xcos⁡2(x)\frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

xcos⁡2(x)\frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                  /         2   \                
  /       2   \   \2 + 2*tan (x)/*tan(x)         
x*\1 + tan (x)/ - ---------------------- + tan(x)
                       /       2   \             
                     2*\1 + tan (x)/
x(tan⁡2(x)+1)+tan⁡(x)−(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)2(tan⁡2(x)+1)x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)} - \frac{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
       2          /       2   \       
1 + tan (x) + 2*x*\1 + tan (x)/*tan(x)
2x(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+tan⁡2(x)+12 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /       2   \ /             /       2   \          2   \
2*\1 + tan (x)/*\2*tan(x) + x*\1 + tan (x)/ + 2*x*tan (x)/
2(tan⁡2(x)+1)(x(tan⁡2(x)+1)+2xtan⁡2(x)+2tan⁡(x))2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 2 x \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de x*tgx-0,5*ln(1+tg^2x)
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