Derivada de xlogx/log(exp)

Solución

Ha introducido [src]

x*log(x)
--------
   / x\ 
log\e /

$$\frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}}$$

(x*log(x))/log(exp(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(e^{x} \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
  Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = e^{x}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{x}$ :
  1. Derivado $e^{x}$ es.
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- x \log{\left(x \right)} + \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(e^{x} \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{1}{x}$

Respuesta:

$\frac{1}{x}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

1 + log(x)   x*log(x)
---------- - --------
    / x\        2/ x\
 log\e /     log \e /

$$- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(e^{x} \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

1   2*(1 + log(x))   2*x*log(x)
- - -------------- + ----------
x         / x\           2/ x\ 
       log\e /        log \e / 
-------------------------------
               / x\            
            log\e /

$$\frac{\frac{2 x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(e^{x} \right)}} + \frac{1}{x}}{\log{\left(e^{x} \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

  1        3       6*(1 + log(x))   6*x*log(x)
- -- - --------- + -------------- - ----------
   2        / x\         2/ x\          3/ x\ 
  x    x*log\e /      log \e /       log \e / 
----------------------------------------------
                      / x\                    
                   log\e /

$$\frac{- \frac{6 x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}^{3}} + \frac{6 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}} - \frac{3}{x \log{\left(e^{x} \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(e^{x} \right)}}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Definida a trozos:

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