Derivada de y=2^(3*x)*cos(x^2+2*x+4)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 2^{3 x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x$.

   2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \cdot 2^{3 x} \log{\left(2 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \left(x^{2} + 2 x\right) + 4$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4\right)$:

      1. diferenciamos $\left(x^{2} + 2 x\right) + 4$ miembro por miembro:

         1. diferenciamos $x^{2} + 2 x$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de: $2 x + 2$

         2. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         Como resultado de: $2 x + 2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \left(2 x + 2\right) \sin{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4 \right)}$

   Como resultado de: $- 2^{3 x} \left(2 x + 2\right) \sin{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4 \right)} + 3 \cdot 2^{3 x} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4 \right)}$

2. Simplificamos:

   $8^{x} \left(- 2 \left(x + 1\right) \sin{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)} + 3 \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)}\right)$

Respuesta:

$8^{x} \left(- 2 \left(x + 1\right) \sin{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)} + 3 \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)}\right)$