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y=tan^-1(sin(e^x))
Derivada de la función/ y=tan/ sin(e^x)/ y=tan^-1(sin(e^x))

Derivada de y=tan^-1(sin(e^x))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     1      
------------
   /   / x\\
tan\sin\E //
1tan⁡(sin⁡(ex))\frac{1}{\tan{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}} 
1/tan(sin(E^x))
Solución detallada

  1. Sustituimos u=tan⁡(sin⁡(ex))u = \tan{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}.

  2. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(sin⁡(ex))\frac{d}{d x} \tan{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan⁡(sin⁡(ex))=sin⁡(sin⁡(ex))cos⁡(sin⁡(ex))\tan{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}{\cos{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin⁡(sin⁡(ex))f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} y g(x)=cos⁡(sin⁡(ex))g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=sin⁡(ex)u = \sin{\left(e^{x} \right)}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(ex)\frac{d}{d x} \sin{\left(e^{x} \right)}:

        1. Sustituimos u=exu = e^{x}.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxex\frac{d}{d x} e^{x}:

          1. Derivado exe^{x} es.

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          excos⁡(ex)e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        excos⁡(ex)cos⁡(sin⁡(ex))e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)} \cos{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=sin⁡(ex)u = \sin{\left(e^{x} \right)}.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(ex)\frac{d}{d x} \sin{\left(e^{x} \right)}:

        1. Sustituimos u=exu = e^{x}.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxex\frac{d}{d x} e^{x}:

          1. Derivado exe^{x} es.

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          excos⁡(ex)e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −exsin⁡(sin⁡(ex))cos⁡(ex)- e^{x} \sin{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} \cos{\left(e^{x} \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      exsin⁡2(sin⁡(ex))cos⁡(ex)+excos⁡(ex)cos⁡2(sin⁡(ex))cos⁡2(sin⁡(ex))\frac{e^{x} \sin^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} \cos{\left(e^{x} \right)} + e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)} \cos^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    −exsin⁡2(sin⁡(ex))cos⁡(ex)+excos⁡(ex)cos⁡2(sin⁡(ex))cos⁡2(sin⁡(ex))tan⁡2(sin⁡(ex))- \frac{e^{x} \sin^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} \cos{\left(e^{x} \right)} + e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)} \cos^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}

  4. Simplificamos:

    −excos⁡(ex)sin⁡2(sin⁡(ex))- \frac{e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}

Respuesta:

−excos⁡(ex)sin⁡2(sin⁡(ex))- \frac{e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-20000000002000000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
 /       2/   / x\\\    / x\  x 
-\1 + tan \sin\E ///*cos\E /*e  
--------------------------------
            2/   / x\\          
         tan \sin\E //
−(tan⁡2(sin⁡(ex))+1)excos⁡(ex)tan⁡2(sin⁡(ex))- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} + 1\right) e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                    /       / x\                        x    / x\         2/ x\ /       2/   / x\\\  x\   
/       2/   / x\\\ |    cos\E /           2/ x\  x    e *sin\E /    2*cos \E /*\1 + tan \sin\E ///*e |  x
\1 + tan \sin\E ///*|- ------------ - 2*cos \E /*e  + ------------ + ---------------------------------|*e 
                    |     /   / x\\                      /   / x\\                2/   / x\\          |   
                    \  tan\sin\E //                   tan\sin\E //             tan \sin\E //          /   
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  /   / x\\                                               
                                               tan\sin\E //
(tan⁡2(sin⁡(ex))+1)(2(tan⁡2(sin⁡(ex))+1)excos⁡2(ex)tan⁡2(sin⁡(ex))+exsin⁡(ex)tan⁡(sin⁡(ex))−2excos⁡2(ex)−cos⁡(ex)tan⁡(sin⁡(ex)))extan⁡(sin⁡(ex))\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} + 1\right) \left(\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} + 1\right) e^{x} \cos^{2}{\left(e^{x} \right)}}{\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}} + \frac{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}}{\tan{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}} - 2 e^{x} \cos^{2}{\left(e^{x} \right)} - \frac{\cos{\left(e^{x} \right)}}{\tan{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}\right) e^{x}}{\tan{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                    /                                                                                                         2                                                                                                                                                               \   
                    |        / x\                            / x\  2*x        2/ x\  x       x    / x\     /       2/   / x\\\     3/ x\  2*x        2/ x\ /       2/   / x\\\  x        / x\  2*x    / x\         3/ x\ /       2/   / x\\\  2*x     /       2/   / x\\\    / x\  2*x    / x\|   
/       2/   / x\\\ |     cos\E /           3/ x\  2*x    cos\E /*e      6*cos \E /*e     3*e *sin\E /   6*\1 + tan \sin\E /// *cos \E /*e      6*cos \E /*\1 + tan \sin\E ///*e    6*cos\E /*e   *sin\E /   10*cos \E /*\1 + tan \sin\E ///*e      6*\1 + tan \sin\E ///*cos\E /*e   *sin\E /|  x
\1 + tan \sin\E ///*|- ------------- - 4*cos \E /*e    + ------------- - ------------- + ------------- - ------------------------------------ + --------------------------------- + ---------------------- + ------------------------------------ - ------------------------------------------|*e 
                    |     2/   / x\\                        2/   / x\\       /   / x\\      2/   / x\\                 4/   / x\\                            3/   / x\\                     /   / x\\                      2/   / x\\                                3/   / x\\               |   
                    \  tan \sin\E //                     tan \sin\E //    tan\sin\E //   tan \sin\E //              tan \sin\E //                         tan \sin\E //                  tan\sin\E //                   tan \sin\E //                             tan \sin\E //               /
(tan⁡2(sin⁡(ex))+1)(−6(tan⁡2(sin⁡(ex))+1)2e2xcos⁡3(ex)tan⁡4(sin⁡(ex))−6(tan⁡2(sin⁡(ex))+1)e2xsin⁡(ex)cos⁡(ex)tan⁡3(sin⁡(ex))+10(tan⁡2(sin⁡(ex))+1)e2xcos⁡3(ex)tan⁡2(sin⁡(ex))+6(tan⁡2(sin⁡(ex))+1)excos⁡2(ex)tan⁡3(sin⁡(ex))+6e2xsin⁡(ex)cos⁡(ex)tan⁡(sin⁡(ex))−4e2xcos⁡3(ex)+e2xcos⁡(ex)tan⁡2(sin⁡(ex))+3exsin⁡(ex)tan⁡2(sin⁡(ex))−6excos⁡2(ex)tan⁡(sin⁡(ex))−cos⁡(ex)tan⁡2(sin⁡(ex)))ex\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} + 1\right) \left(- \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} + 1\right)^{2} e^{2 x} \cos^{3}{\left(e^{x} \right)}}{\tan^{4}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}} - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} + 1\right) e^{2 x} \sin{\left(e^{x} \right)} \cos{\left(e^{x} \right)}}{\tan^{3}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}} + \frac{10 \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} + 1\right) e^{2 x} \cos^{3}{\left(e^{x} \right)}}{\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)} + 1\right) e^{x} \cos^{2}{\left(e^{x} \right)}}{\tan^{3}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}} + \frac{6 e^{2 x} \sin{\left(e^{x} \right)} \cos{\left(e^{x} \right)}}{\tan{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}} - 4 e^{2 x} \cos^{3}{\left(e^{x} \right)} + \frac{e^{2 x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}} + \frac{3 e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}}{\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}} - \frac{6 e^{x} \cos^{2}{\left(e^{x} \right)}}{\tan{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}} - \frac{\cos{\left(e^{x} \right)}}{\tan^{2}{\left(\sin{\left(e^{x} \right)} \right)}}\right) e^{x}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=tan^-1(sin(e^x))
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