Derivada de x*sec^2(pi*x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(\pi x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sec{\left(\pi x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sec{\left(\pi x \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\sec{\left(\pi x \right)} = \frac{1}{\cos{\left(\pi x \right)}}$

      2. Sustituimos $u = \cos{\left(\pi x \right)}$.

      3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(\pi x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \pi x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \pi x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $\pi$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \pi \sin{\left(\pi x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\pi \sin{\left(\pi x \right)}}{\cos^{2}{\left(\pi x \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 \pi \sin{\left(\pi x \right)} \sec{\left(\pi x \right)}}{\cos^{2}{\left(\pi x \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} \sec{\left(\pi x \right)}}{\cos^{2}{\left(\pi x \right)}} + \sec^{2}{\left(\pi x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{\cos^{3}{\left(\pi x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{\cos^{3}{\left(\pi x \right)}}$