Derivada de -x*ln(x+6)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = - x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $-1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(x + 6 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 6$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 6\right)$:

      1. diferenciamos $x + 6$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $6$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{x + 6}$

   Como resultado de: $- \frac{x}{x + 6} - \log{\left(x + 6 \right)}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{x + \left(x + 6\right) \log{\left(x + 6 \right)}}{x + 6}$

Respuesta:

$- \frac{x + \left(x + 6\right) \log{\left(x + 6 \right)}}{x + 6}$