Sr Examen

Derivada de xsin(x*lnx)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
x*sin(x*log(x))
xsin(xlog(x))x \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}
x*sin(x*log(x))
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    g(x)=sin(xlog(x))g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=xlog(x)u = x \log{\left(x \right)}.

    2. La derivada del seno es igual al coseno:

      ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxxlog(x)\frac{d}{d x} x \log{\left(x \right)}:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        g(x)=log(x)g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Derivado log(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

        Como resultado de: log(x)+1\log{\left(x \right)} + 1

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      (log(x)+1)cos(xlog(x))\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}

    Como resultado de: x(log(x)+1)cos(xlog(x))+sin(xlog(x))x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}


Respuesta:

x(log(x)+1)cos(xlog(x))+sin(xlog(x))x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5050
Primera derivada [src]
x*(1 + log(x))*cos(x*log(x)) + sin(x*log(x))
x(log(x)+1)cos(xlog(x))+sin(xlog(x))x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}
Segunda derivada [src]
    /            2                 cos(x*log(x))\                               
- x*|(1 + log(x)) *sin(x*log(x)) - -------------| + 2*(1 + log(x))*cos(x*log(x))
    \                                    x      /                               
x((log(x)+1)2sin(xlog(x))cos(xlog(x))x)+2(log(x)+1)cos(xlog(x))- x \left(\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} - \frac{\cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) + 2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}
Tercera derivada [src]
    /cos(x*log(x))               3                 3*(1 + log(x))*sin(x*log(x))\                 2                 3*cos(x*log(x))
- x*|------------- + (1 + log(x)) *cos(x*log(x)) + ----------------------------| - 3*(1 + log(x)) *sin(x*log(x)) + ---------------
    |       2                                                   x              |                                          x       
    \      x                                                                   /                                                  
x((log(x)+1)3cos(xlog(x))+3(log(x)+1)sin(xlog(x))x+cos(xlog(x))x2)3(log(x)+1)2sin(xlog(x))+3cos(xlog(x))x- x \left(\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} + \frac{3 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) - 3 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} + \frac{3 \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}}{x}
Gráfico
Derivada de xsin(x*lnx)