Derivada de xsin(x*lnx)

Solución

Ha introducido [src]

x*sin(x*log(x))

$$x \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}$$

x*sin(x*log(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = x \log{\left(x \right)}$ .
2. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x \log{\left(x \right)}$ :
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
    Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}$
Como resultado de: $x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}$

Respuesta:

$x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

x*(1 + log(x))*cos(x*log(x)) + sin(x*log(x))

$$x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}$$

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Segunda derivada [src]

    /            2                 cos(x*log(x))\                               
- x*|(1 + log(x)) *sin(x*log(x)) - -------------| + 2*(1 + log(x))*cos(x*log(x))
    \                                    x      /

$$- x \left(\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} - \frac{\cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) + 2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}$$

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Tercera derivada [src]

    /cos(x*log(x))               3                 3*(1 + log(x))*sin(x*log(x))\                 2                 3*cos(x*log(x))
- x*|------------- + (1 + log(x)) *cos(x*log(x)) + ----------------------------| - 3*(1 + log(x)) *sin(x*log(x)) + ---------------
    |       2                                                   x              |                                          x       
    \      x                                                                   /

$$- x \left(\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} + \frac{3 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) - 3 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(x \log{\left(x \right)} \right)} + \frac{3 \cos{\left(x \log{\left(x \right)} \right)}}{x}$$

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