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y=sin(2x)*cot(x*pi/4)
Derivada de la función/ sin(2x)/ y=sin/ x*pi/4/ y=sin(2x)*cot(x*pi/4)

Derivada de y=sin(2x)*cot(x*pi/4)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x*pi\
sin(2*x)*cot|----|
            \ 4  /
sin⁡(2x)cot⁡(πx4)\sin{\left(2 x \right)} \cot{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} 
sin(2*x)*cot((x*pi)/4)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=sin⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

    2. La derivada del seno es igual al coseno:

      ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        Entonces, como resultado: 22

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

    g(x)=cot⁡(πx4)g{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(πx4)=1tan⁡(πx4)\cot{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}

      2. Sustituimos u=tan⁡(πx4)u = \tan{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(πx4)\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(πx4)=sin⁡(πx4)cos⁡(πx4)\tan{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(πx4)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} y g(x)=cos⁡(πx4)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=πx4u = \frac{\pi x}{4}.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxπx4\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{4}:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: π\pi

              Entonces, como resultado: π4\frac{\pi}{4}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            πcos⁡(πx4)4\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=πx4u = \frac{\pi x}{4}.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxπx4\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{4}:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: π\pi

              Entonces, como resultado: π4\frac{\pi}{4}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −πsin⁡(πx4)4- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          πsin⁡2(πx4)4+πcos⁡2(πx4)4cos⁡2(πx4)\frac{\frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4}}{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −πsin⁡2(πx4)4+πcos⁡2(πx4)4cos⁡2(πx4)tan⁡2(πx4)- \frac{\frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4}}{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(πx4)=cos⁡(πx4)sin⁡(πx4)\cot{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos⁡(πx4)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} y g(x)=sin⁡(πx4)g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=πx4u = \frac{\pi x}{4}.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxπx4\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{4}:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: π\pi

            Entonces, como resultado: π4\frac{\pi}{4}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −πsin⁡(πx4)4- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=πx4u = \frac{\pi x}{4}.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxπx4\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{4}:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: π\pi

            Entonces, como resultado: π4\frac{\pi}{4}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          πcos⁡(πx4)4\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −πsin⁡2(πx4)4−πcos⁡2(πx4)4sin⁡2(πx4)\frac{- \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4} - \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4}}{\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}

    Como resultado de: −(πsin⁡2(πx4)4+πcos⁡2(πx4)4)sin⁡(2x)cos⁡2(πx4)tan⁡2(πx4)+2cos⁡(2x)cot⁡(πx4)- \frac{\left(\frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \cot{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}

  2. Simplificamos:

    −πsin⁡(2x)2−sin⁡(x(2−π2))+sin⁡(x(π2+2))1−cos⁡(πx2)\frac{- \frac{\pi \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \sin{\left(x \left(2 - \frac{\pi}{2}\right) \right)} + \sin{\left(x \left(\frac{\pi}{2} + 2\right) \right)}}{1 - \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}

Respuesta:

−πsin⁡(2x)2−sin⁡(x(2−π2))+sin⁡(x(π2+2))1−cos⁡(πx2)\frac{- \frac{\pi \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \sin{\left(x \left(2 - \frac{\pi}{2}\right) \right)} + \sin{\left(x \left(\frac{\pi}{2} + 2\right) \right)}}{1 - \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}

Primera derivada [src] 
                          /        2/x*pi\\         
                       pi*|-1 - cot |----||*sin(2*x)
              /x*pi\      \         \ 4  //         
2*cos(2*x)*cot|----| + -----------------------------
              \ 4  /                 4
π(−cot⁡2(πx4)−1)sin⁡(2x)4+2cos⁡(2x)cot⁡(πx4)\frac{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 1\right) \sin{\left(2 x \right)}}{4} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \cot{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                          2 /       2/pi*x\\    /pi*x\         
                                                        pi *|1 + cot |----||*cot|----|*sin(2*x)
       /pi*x\               /       2/pi*x\\                \        \ 4  //    \ 4  /         
- 4*cot|----|*sin(2*x) - pi*|1 + cot |----||*cos(2*x) + ---------------------------------------
       \ 4  /               \        \ 4  //                               8
π2(cot⁡2(πx4)+1)sin⁡(2x)cot⁡(πx4)8−π(cot⁡2(πx4)+1)cos⁡(2x)−4sin⁡(2x)cot⁡(πx4)\frac{\pi^{2} \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 1\right) \sin{\left(2 x \right)} \cot{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{8} - \pi \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 1\right) \cos{\left(2 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} \cot{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                            3 /       2/pi*x\\ /         2/pi*x\\                2 /       2/pi*x\\             /pi*x\
                                                          pi *|1 + cot |----||*|1 + 3*cot |----||*sin(2*x)   3*pi *|1 + cot |----||*cos(2*x)*cot|----|
                /pi*x\        /       2/pi*x\\                \        \ 4  // \          \ 4  //                  \        \ 4  //             \ 4  /
- 8*cos(2*x)*cot|----| + 3*pi*|1 + cot |----||*sin(2*x) - ------------------------------------------------ + -----------------------------------------
                \ 4  /        \        \ 4  //                                   32                                              4
−π3(cot⁡2(πx4)+1)(3cot⁡2(πx4)+1)sin⁡(2x)32+3π(cot⁡2(πx4)+1)sin⁡(2x)+3π2(cot⁡2(πx4)+1)cos⁡(2x)cot⁡(πx4)4−8cos⁡(2x)cot⁡(πx4)- \frac{\pi^{3} \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 1\right) \sin{\left(2 x \right)}}{32} + 3 \pi \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 1\right) \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \pi^{2} \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 1\right) \cos{\left(2 x \right)} \cot{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{4} - 8 \cos{\left(2 x \right)} \cot{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=sin(2x)*cot(x*pi/4)
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