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y=tan(x/2)-cos(2x)

Derivada de y=tan(x/2)-cos(2x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   /x\           
tan|-| - cos(2*x)
   \2/           
cos(2x)+tan(x2)- \cos{\left(2 x \right)} + \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}
tan(x/2) - cos(2*x)
Solución detallada
  1. diferenciamos cos(2x)+tan(x2)- \cos{\left(2 x \right)} + \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} miembro por miembro:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan(x2)=sin(x2)cos(x2)\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin(x2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} y g(x)=cos(x2)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        cos(x2)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        sin(x2)2- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      sin2(x2)2+cos2(x2)2cos2(x2)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

    3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 22

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2sin(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

      Entonces, como resultado: 2sin(2x)2 \sin{\left(2 x \right)}

    Como resultado de: sin2(x2)2+cos2(x2)2cos2(x2)+2sin(2x)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + 2 \sin{\left(2 x \right)}

  2. Simplificamos:

    sin(x)+2sin(2x)+sin(3x)+1cos(x)+1\frac{\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)} + 1}


Respuesta:

sin(x)+2sin(2x)+sin(3x)+1cos(x)+1\frac{\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)} + 1}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Primera derivada [src]
       2/x\             
    tan |-|             
1       \2/             
- + ------- + 2*sin(2*x)
2      2                
2sin(2x)+tan2(x2)2+122 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}
Segunda derivada [src]
             /       2/x\\    /x\
             |1 + tan |-||*tan|-|
             \        \2//    \2/
4*cos(2*x) + --------------------
                      2          
(tan2(x2)+1)tan(x2)2+4cos(2x)\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + 4 \cos{\left(2 x \right)}
Tercera derivada [src]
                           2                        
              /       2/x\\       2/x\ /       2/x\\
              |1 + tan |-||    tan |-|*|1 + tan |-||
              \        \2//        \2/ \        \2//
-8*sin(2*x) + -------------- + ---------------------
                    4                    2          
(tan2(x2)+1)24+(tan2(x2)+1)tan2(x2)28sin(2x)\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{4} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - 8 \sin{\left(2 x \right)}
Gráfico
Derivada de y=tan(x/2)-cos(2x)