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ln(sinx)/(1-cosx)
Derivada de la función/ -cosx/ (sinx)/ ln(sinx)/(1-cosx)

Derivada de ln(sinx)/(1-cosx)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
log(sin(x))
-----------
 1 - cos(x)
log⁡(sin⁡(x))1−cos⁡(x)\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} 
log(sin(x))/(1 - cos(x))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=log⁡(sin⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} y g(x)=1−cos⁡(x)g{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(x \right)}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

    2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos 1−cos⁡(x)1 - \cos{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Entonces, como resultado: sin⁡(x)\sin{\left(x \right)}

      Como resultado de: sin⁡(x)\sin{\left(x \right)}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (1−cos⁡(x))cos⁡(x)sin⁡(x)−log⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)(1−cos⁡(x))2\frac{\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}

  2. Simplificamos:

    −log⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)+sin⁡(x)+1tan⁡(x)−1sin⁡(x)(cos⁡(x)−1)2\frac{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}

Respuesta:

−log⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)+sin⁡(x)+1tan⁡(x)−1sin⁡(x)(cos⁡(x)−1)2\frac{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
       cos(x)         log(sin(x))*sin(x)
------------------- - ------------------
(1 - cos(x))*sin(x)                 2   
                        (1 - cos(x))
cos⁡(x)(1−cos⁡(x))sin⁡(x)−log⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)(1−cos⁡(x))2\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                            /      2             \            
                            | 2*sin (x)          |            
       2                    |----------- + cos(x)|*log(sin(x))
    cos (x)     2*cos(x)    \-1 + cos(x)         /            
1 + ------- - ----------- - ----------------------------------
       2      -1 + cos(x)              -1 + cos(x)            
    sin (x)                                                   
--------------------------------------------------------------
                         -1 + cos(x)
1+cos⁡2(x)sin⁡2(x)−(cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)−1)log⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)−1−2cos⁡(x)cos⁡(x)−1cos⁡(x)−1\frac{1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
    /       2   \            /       2   \          /                          2      \                                                     
    |    cos (x)|            |    cos (x)|          |       6*cos(x)      6*sin (x)   |                        /      2             \       
  2*|1 + -------|*cos(x)   3*|1 + -------|*sin(x)   |-1 + ----------- + --------------|*log(sin(x))*sin(x)     | 2*sin (x)          |       
    |       2   |            |       2   |          |     -1 + cos(x)                2|                      3*|----------- + cos(x)|*cos(x)
    \    sin (x)/            \    sin (x)/          \                   (-1 + cos(x)) /                        \-1 + cos(x)         /       
- ---------------------- + ---------------------- - ------------------------------------------------------ - -------------------------------
          sin(x)                -1 + cos(x)                              -1 + cos(x)                               (-1 + cos(x))*sin(x)     
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                -1 + cos(x)
−2(1+cos⁡2(x)sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡(x)+3(1+cos⁡2(x)sin⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡(x)−1−3(cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)−1)cos⁡(x)(cos⁡(x)−1)sin⁡(x)−(−1+6cos⁡(x)cos⁡(x)−1+6sin⁡2(x)(cos⁡(x)−1)2)log⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)cos⁡(x)−1cos⁡(x)−1\frac{- \frac{2 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}} - \frac{\left(-1 + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}
Simplificar
Gráfico
Derivada de ln(sinx)/(1-cosx)
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