Derivada de y=3x^5/cos^2x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 3 x^{5}$ y $g{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{5}$ tenemos $5 x^{4}$

      Entonces, como resultado: $15 x^{4}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{6 x^{5} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 15 x^{4} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{4} \left(6 x \sin{\left(x \right)} + 15 \cos{\left(x \right)}\right)}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(6 x \sin{\left(x \right)} + 15 \cos{\left(x \right)}\right)}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$