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(xsin(sinx)-sin^2x)/(x^6)
Derivada de la función/ sin^2/ (sinx)/ (xsin(sinx)-sin^2x)/(x^6)

Derivada de (xsin(sinx)-sin^2x)/(x^6)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   2   
x*sin(sin(x)) - sin (x)
-----------------------
            6          
           x
xsin⁡(sin⁡(x))−sin⁡2(x)x6\frac{x \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{6}} 
(x*sin(sin(x)) - sin(x)^2)/x^6
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=xsin⁡(sin⁡(x))−sin⁡2(x)f{\left(x \right)} = x \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)} y g(x)=x6g{\left(x \right)} = x^{6}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos xsin⁡(sin⁡(x))−sin⁡2(x)x \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2sin⁡(x)cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

        Entonces, como resultado: −2sin⁡(x)cos⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        g(x)=sin⁡(sin⁡(x))g{\left(x \right)} = \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          cos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))\cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

        Como resultado de: xcos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))+sin⁡(sin⁡(x))x \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

      Como resultado de: xcos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(sin⁡(x))x \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: x6x^{6} tenemos 6x56 x^{5}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    x6(xcos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(sin⁡(x)))−6x5(xsin⁡(sin⁡(x))−sin⁡2(x))x12\frac{x^{6} \left(x \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) - 6 x^{5} \left(x \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)}{x^{12}}

  2. Simplificamos:

    x2cos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−xsin⁡(2x)−5xsin⁡(sin⁡(x))+6sin⁡2(x)x7\frac{x^{2} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - x \sin{\left(2 x \right)} - 5 x \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{7}}

Respuesta:

x2cos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−xsin⁡(2x)−5xsin⁡(sin⁡(x))+6sin⁡2(x)x7\frac{x^{2} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - x \sin{\left(2 x \right)} - 5 x \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{7}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.10-0.10
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                                                          /                   2   \
-2*cos(x)*sin(x) + x*cos(x)*cos(sin(x)) + sin(sin(x))   6*\x*sin(sin(x)) - sin (x)/
----------------------------------------------------- - ---------------------------
                           6                                          7            
                          x                                          x
xcos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(sin⁡(x))x6−6(xsin⁡(sin⁡(x))−sin⁡2(x))x7\frac{x \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x^{6}} - \frac{6 \left(x \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)}{x^{7}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                                                                                 /     2                   \                                               
       2           2      12*(-2*cos(x)*sin(x) + x*cos(x)*cos(sin(x)) + sin(sin(x)))                          42*\- sin (x) + x*sin(sin(x))/        2                                      
- 2*cos (x) + 2*sin (x) - ---------------------------------------------------------- + 2*cos(x)*cos(sin(x)) + ------------------------------ - x*cos (x)*sin(sin(x)) - x*cos(sin(x))*sin(x)
                                                      x                                                                      2                                                             
                                                                                                                            x                                                              
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                              6                                                                                            
                                                                                             x
−xsin⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−xsin⁡(sin⁡(x))cos⁡2(x)+2sin⁡2(x)−2cos⁡2(x)+2cos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−12(xcos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(sin⁡(x)))x+42(xsin⁡(sin⁡(x))−sin⁡2(x))x2x6\frac{- x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - x \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{12 \left(x \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right)}{x} + \frac{42 \left(x \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)}{x^{2}}}{x^{6}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
      /     2                   \                                                                       /       2           2                                  2                                      \                                                                                                                                             
  336*\- sin (x) + x*sin(sin(x))/        2                                                           18*\- 2*sin (x) + 2*cos (x) - 2*cos(x)*cos(sin(x)) + x*cos (x)*sin(sin(x)) + x*cos(sin(x))*sin(x)/   126*(-2*cos(x)*sin(x) + x*cos(x)*cos(sin(x)) + sin(sin(x)))        3                                                                      
- ------------------------------- - 3*cos (x)*sin(sin(x)) - 3*cos(sin(x))*sin(x) + 8*cos(x)*sin(x) + -------------------------------------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------- - x*cos (x)*cos(sin(x)) - x*cos(x)*cos(sin(x)) + 3*x*cos(x)*sin(x)*sin(sin(x))
                  3                                                                                                                                  x                                                                                  2                                                                                                           
                 x                                                                                                                                                                                                                     x                                                                                                            
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                          6                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                         x
3xsin⁡(x)sin⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)−xcos⁡3(x)cos⁡(sin⁡(x))−xcos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))+8sin⁡(x)cos⁡(x)−3sin⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−3sin⁡(sin⁡(x))cos⁡2(x)+18(xsin⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))+xsin⁡(sin⁡(x))cos⁡2(x)−2sin⁡2(x)+2cos⁡2(x)−2cos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x)))x+126(xcos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(sin⁡(x)))x2−336(xsin⁡(sin⁡(x))−sin⁡2(x))x3x6\frac{3 x \sin{\left(x \right)} \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} - x \cos^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - x \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 3 \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{18 \left(x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + x \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right)}{x} + \frac{126 \left(x \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right)}{x^{2}} - \frac{336 \left(x \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)}{x^{3}}}{x^{6}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de (xsin(sinx)-sin^2x)/(x^6)
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