Derivada de y=tan(cos(5t-9))

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)}}{\cos{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

   $f{\left(t \right)} = \sin{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)}$ y $g{\left(t \right)} = \cos{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(5 t - 9 \right)}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \cos{\left(5 t - 9 \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 t - 9$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \left(5 t - 9\right)$:

         1. diferenciamos $5 t - 9$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $5$

            2. La derivada de una constante $-9$ es igual a cero.

            Como resultado de: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 5 \sin{\left(5 t - 9 \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 5 \sin{\left(5 t - 9 \right)} \cos{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(5 t - 9 \right)}$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \cos{\left(5 t - 9 \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 t - 9$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \left(5 t - 9\right)$:

         1. diferenciamos $5 t - 9$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $5$

            2. La derivada de una constante $-9$ es igual a cero.

            Como resultado de: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 5 \sin{\left(5 t - 9 \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5 \sin{\left(5 t - 9 \right)} \sin{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 5 \sin{\left(5 t - 9 \right)} \sin^{2}{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)} - 5 \sin{\left(5 t - 9 \right)} \cos^{2}{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)}}$

3. Simplificamos:

   $- \frac{5 \sin{\left(5 t - 9 \right)}}{\cos^{2}{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{5 \sin{\left(5 t - 9 \right)}}{\cos^{2}{\left(\cos{\left(5 t - 9 \right)} \right)}}$