Derivada de y=cosx*sin(2x+lnx)

Solución

Ha introducido [src]

cos(x)*sin(2*x + log(x))

$$\sin{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$$

cos(x)*sin(2*x + log(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
$g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = 2 x + \log{\left(x \right)}$ .
2. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + \log{\left(x \right)}\right)$ :
  1. diferenciamos $2 x + \log{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $2$
    2. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
    Como resultado de: $2 + \frac{1}{x}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\left(2 + \frac{1}{x}\right) \cos{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)}$
Como resultado de: $\left(2 + \frac{1}{x}\right) \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)} - \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)}$
Simplificamos:

$\frac{- x \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)} + \left(2 x + 1\right) \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

Respuesta:

$\frac{- x \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)} + \left(2 x + 1\right) \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                            /    1\                         
-sin(x)*sin(2*x + log(x)) + |2 + -|*cos(x)*cos(2*x + log(x))
                            \    x/

$$\left(2 + \frac{1}{x}\right) \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)} - \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)}$$

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Segunda derivada [src]

 //                           2                  \                                                                       \
 ||cos(2*x + log(x))   /    1\                   |                                       /    1\                         |
-||----------------- + |2 + -| *sin(2*x + log(x))|*cos(x) + cos(x)*sin(2*x + log(x)) + 2*|2 + -|*cos(2*x + log(x))*sin(x)|
 ||         2          \    x/                   |                                       \    x/                         |
 \\        x                                     /                                                                       /

$$- (2 \left(2 + \frac{1}{x}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)} + \left(\left(2 + \frac{1}{x}\right)^{2} \sin{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cos{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)})$$

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Tercera derivada [src]

/                                                       /    1\                  \                                                                                                                                   
|         3                                           3*|2 + -|*sin(2*x + log(x))|                                       /                           2                  \                                            
|  /    1\                      2*cos(2*x + log(x))     \    x/                  |                                       |cos(2*x + log(x))   /    1\                   |            /    1\                         
|- |2 + -| *cos(2*x + log(x)) + ------------------- + ---------------------------|*cos(x) + sin(x)*sin(2*x + log(x)) + 3*|----------------- + |2 + -| *sin(2*x + log(x))|*sin(x) - 3*|2 + -|*cos(x)*cos(2*x + log(x))
|  \    x/                                3                         2            |                                       |         2          \    x/                   |            \    x/                         
\                                        x                         x             /                                       \        x                                     /

$$- 3 \left(2 + \frac{1}{x}\right) \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)} + 3 \left(\left(2 + \frac{1}{x}\right)^{2} \sin{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cos{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \sin{\left(x \right)} + \left(- \left(2 + \frac{1}{x}\right)^{3} \cos{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)} + \frac{3 \left(2 + \frac{1}{x}\right) \sin{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \cos{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x + \log{\left(x \right)} \right)}$$

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