Derivada de xsin(x)sin(1/x)

Solución

Ha introducido [src]

            /1\
x*sin(x)*sin|-|
            \x/

$$x \sin{\left(x \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$$

(x*sin(x))*sin(1/x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
$g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \frac{1}{x}$ .
2. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
Como resultado de: $\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$
Simplificamos:

$\frac{x \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$

Respuesta:

$\frac{x \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                                /1\       
                             cos|-|*sin(x)
                       /1\      \x/       
(x*cos(x) + sin(x))*sin|-| - -------------
                       \x/         x

$$\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                                  /              /1\\                                      
                                  |           sin|-||                                      
                                  |     /1\      \x/|                                   /1\
                                  |2*cos|-| - ------|*sin(x)   2*(x*cos(x) + sin(x))*cos|-|
                            /1\   \     \x/     x   /                                   \x/
- (-2*cos(x) + x*sin(x))*sin|-| + -------------------------- - ----------------------------
                            \x/                2                             2             
                                              x                             x

$$- \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{2 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\left(2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                                 /                /1\        /1\\                                                                                     
                                 |             cos|-|   6*sin|-||            /              /1\\                                                      
                                 |       /1\      \x/        \x/|            |           sin|-||                                                      
                                 |- 6*cos|-| + ------ + --------|*sin(x)     |     /1\      \x/|                                                   /1\
                                 |       \x/      2        x    |          3*|2*cos|-| - ------|*(x*cos(x) + sin(x))   3*(-2*cos(x) + x*sin(x))*cos|-|
                           /1\   \               x              /            \     \x/     x   /                                                   \x/
- (3*sin(x) + x*cos(x))*sin|-| + --------------------------------------- + ----------------------------------------- + -------------------------------
                           \x/                       3                                          3                                      2              
                                                    x                                          x                                      x

$$- \left(x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{3 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{3 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} + \frac{\left(- 6 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{6 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right) \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Derivada de xsin(x)sin(1/x)

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Definida a trozos:

Solución